इस post में exercise 1.1 class 10 maths NCERT solutions in Hindi medium में सभी question को बहुत ही गहराई से हल करके बताया गया है और गणित को और भी रोचक बनाने की कोशिश की गई है
प्रश्नावली 1.1
Q 1 . निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए ।
⁽ⁱ⁾ 135 और 225
चरण – 1 225 > 135
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = bq + r
(बड़ी संख्या 255 में छोटी संख्या 135 का भाग देने पर
225 = 135 × 1 + 90
(इसे तब तक हल करेंगे जब तक शेषफल (r)=0 ना हो जाए )
चरण – 2 शेषफल 90 ≠ 0
( भाजक 135 में शेषफल 90 का भाग देने पर )
135 = 90 × 1 + 45
चरण – 3 शेषफल 45 ≠ 0
( भाजक 90 में शेषफल 45 का भाग देने पर )
90 = 45 × 2 + 0
(जब शेषफल (r) 0 प्राप्त होता है तब भाजक (b) का मान HCF होता है )
अतः शेषफल (r) = 0 HCF = 45
⁽ⁱⁱ⁾ 196 और 38220
चरण – 1 38220 > 196
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = bq + r
(बड़ी संख्या 38220 में छोटी संख्या 196 का भाग देने पर )
38220 = 196 × 195 + 0
(जब शेषफल (r) 0 प्राप्त होता है तब भाजक (b) का मान HCF होता है )
अतः शेषफल (r) = 0 HCF = 196
⁽ⁱⁱⁱ⁾ 867 और 255
चरण – 1 867 > 255
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = bq + r
(बड़ी संख्या 867 में छोटी संख्या 255 का भाग देने पर )
867 = 255 × 3 + 102
(इसे तब तक हल करेंगे जब तक शेषफल (r)=0 ना हो जाए)
चरण – 2 शेषफल 102 ≠ 0
( भाजक 255 में शेषफल 102 का भाग देने पर )
225 = 102 × 2 + 51
चरण – 3 शेषफल 51 ≠ 0
( भाजक 102 में शेषफल 51 का भाग देने पर )
102 = 51 × 2 + 0
(जब शेषफल (r) 0 प्राप्त होता है तब भाजक (b) का मान HCF होता है )
अतः शेषफल (r) = 0 HCF = 51
Q 2 . दर्शाइए कि कोई धनात्मक विषम पूर्णाक 6 q + 1 या 6 q + 3 या 6 q + 5 के रूप में होता है जहां q कोई पूर्णांक है ।
हल : माना धनात्मक विषम पूर्णांक a है
6q + 1, 6q +3, 6q + 5
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार
a = bq + r
जहां भाजक ( b )= 6
0 ≤ शेषफल (r) < भाजक (b)
(जब हम a में 6 का भाग देते हैं तो हमें निम्न शेषफल प्राप्त होते हैं)
शेषफल (r)= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
भागफल → q
( a = bq + r के रूप में लिखने पर )
संख्याएं → 6q+0, 6q+1, 6q+2, 6q+3 , 6q+4, 6q+5
लेकिन 6q+0 , 6q+2 , 6q+4 विषम धनात्मक पूर्णांक से नहीं है
क्योंकि a एक विषम संख्या है इसीलिए शेषफल (r) भी विषम संख्या प्राप्त होंगी जैसे :- 1 , 2 , 3 )
तो 6q+1 , 6q+3 , 6q+5 विषम धनात्मक पूर्णांक है
Q 3 . किसी परेड में 616 सदस्यों वाली सेना ( आर्मी ) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है । दोनों समूह को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है उन स्तंभों की अधिकतम संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है उन स्तंभो की अधिकतम संख्या क्या है। जिसमें मार्च कर सकते हैं ?
हल : आर्मी के सदस्यों की संख्या = 616 और 32
चरण – 1 616 > 32
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = bq + r
(बड़ी संख्या 616 में छोटी संख्या 32 का भाग देने पर )
616 = 32 × 19 + 8
(इसे तब तक हल करेंगे जब तक शेषफल (r)=0 ना हो जाए )
चरण – 2 शेषफल 8 ≠ 0
( भाजक 32 में शेषफल 8 का भाग देने पर )
32 = 8 × 4 + 0
(जब शेषफल (r) 0 प्राप्त होता है तब भाजक (b) का मान HCF होता है )
अतः शेषफल = 0 HCF = 8
अतः स्तंभों अधिकतम संख्य 8 है जिसमें वह मार्च कर सकते है
Q 4 . यूक्लिड विभाजन प्रेमिका का प्रयोग करके यह दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है ।
हल : माना कोई धनात्मक पूर्णांक = a
दर्शाना है : a ² = 3m और 3m + 1
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार
a = bq + r
जहां भाजक ( b )= 3
0 ≤ शेषफल (r) < भाजक (b)
(जब हम a में 3 का भाग देते हैं तो हमें निम्न शेषफल प्राप्त होते हैं)
शेषफल (r)= 0 , 1 , 2
(a = bq + r के रूप में लिखने पर )
संख्या→a = 3q + 0 , 3q + 1 , 3q + 2
यदि a = 3q + 0 हो तो।
दोनों तरफ वर्ग करने पर
a²= ( 3q )²
= 3 × 3q²
जहां m = 3q²
= 3m
यदि a = 3q+1 हो तो।
दोनों वर्ग करने पर
a²= ( 3q+1 ) ²
सूत्र:- ( a+b ) ² = a² + 2ab + b²
= ( 3q ) ² + 2 × 3q × 1 + (1) ²
= 9q² + 6q + 1
= 3 ( 3q² + 2q ) + 1
जहां m = 3q² + 2q
= 3m + 1
यदि a = 3q + 2 हो तो।
दोनों तरफ वर्ग करने पर
a² = ( 3q + 2 ) ²
= ( 3q ) ² + 2 × 3q × 2 + ( 2 ) ²
= 9q² + 12q + 4
= 9q² + 12q + 3 + 1
= 3 ( 3q² + 4q + 1 ) + 1
जहां m = 3q² + 4q + 1
= 3m + 1
Q 5 . यूक्लिड विभाजन प्रेमिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m , 9m+1 , या 9m + 8 के रूप का होता है ।
हल : माना धनात्मक पूर्णांक = a
9m , 9m+1 , या 9m + 8
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार
a = bq + r
[ b = 9 ]
शेषफल (r)= 0,1,2,3,4,5,6,7,8
( 3 )³ = 27 = 3×9
जहां भाजक ( b )= 3
0 ≤ शेषफल (r) < भाजक (b)
(जब हम a में 3 का भाग देते हैं तो हमें निम्न शेषफल प्राप्त होते हैं)
शेषफल (r)= 0 , 1 , 2
(a = bq + r के रूप में लिखने पर )
संख्याएं a = 3q + 0 , 3q + 1 , 3q + 2
यदि a = 3q + 0 हो तो
दोनों तरफ घन करने पर
a³ = ( 3q )³
= 27q³
= 9 × 3q³
[ जहां m = 3q³ ]
= 9m
यदि a = 3q + 1 हो तो
दोनों तरफ घन करने पर
a³ = ( 3q + 1 ) ³
सूत्र :- ( a+b ) ³ = a³ + b³ + 3a² b + 3 ab²
= ( 3q ) ³ + (1) ³ + 3× ( 3q ) ² × 1 + 3 × 3q × (1)²
= 27q³ + 1 + 27q ² + 9q
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9 ( 3q³ + 3q² + q ) + 1
( जहां m = 3q³ + 3q² + 2 )
= 9m + 1
यदि a = 3q + 2 हो तो
दोनों तरफ घन करने पर
a³ = ( 3q + 2 )³
= ( 3q ) ³ + ( 2 ) ³ + 3 × ( 3q ) ² × 2 + 3 × 3q + ( 2 )²
= 27q³ + 8 + 54q² + 36q
= 27q³ + 5 4q² + 36q + 8
( जहां m = 3q³ + 6q² + 4 )
= 9m + 8