ज्यादातर स्टूडेंट को गणित में भिन्न वाली जोड़ बाकी गुणा भाग बहुत कठिन लगते है इसीलिए इस ब्लॉक पोस्ट में भिन्नों का जोड़ घटाना गुणा भाग कैसे करें इसके बारे में बहुत आसान तरीके से बताया गया है भिन्न वाले सवालों को हल करना सिखाने से पहले हमें भिन्न के बारे में बेसिक जानकारी होनी चाहिए। जैसे की भिन्न किसे कहते हैं तथा भिन्न में अंश व हर किसे कहते हैं।
भिन्न किसे कहते हैं
गणित में भिन्न एक ऐसी संख्या है जो किसी संपूर्ण चीज के के किसी भाग को बताती है यानी किसी चीज को कितने भागों में बांटा गया है उसे भिन्न कहते हैं।
जैसे किसी एक व्रत के दो भाग कर दिए जाएं तो उसके एक भाग को $ \textbf{$\frac12$} $ के रूप में लिखते हैं इसी प्रकार यदि व्रत के तीन भाग कर दिए जाएं उनमें से व्रत के दो भागों को $\frac23$ के रूप में लिखते हैं तथा इसी प्रकार व्रत के चार भाग कर दिए जाएं उनमें से व्रत के तीन भागों को $\frac34$ के रूप में लिखते हैं और यदि व्रत के चार भाग कर दिए जाएं और उनमें से किसी एक भाग को भिन्न के रूप में लिखकर बताना हो तो उसे $\frac14$ लिखते हैं।
अंश और हर
सभी साधारण भिन्नों में अंश और हर होते हैं किसी भी साधारण भिन्न में ऊपर वाले अंक को अंश कहते हैं और भिन्न में निकले वाले अंक को हर कहते हैं तथा अंश व हर के मध्य जो रेखा होती है उसे गणित बट्टा (___) कहते हैं ।
उदाहरण के लिए $\frac59$ को पांच बट्टा नौ पढ़ते हैं और इस भिन्न में 5 अंश है और 9 हर है
भिन्न के प्रकार
ऐसे तो बिन कई प्रकार की होती है लेकिन भिन्न मुख्य रूप से तीन प्रकार है
1. उचित भिन्न
जिस किसी साधारण भिन्न में अंश वाला अंक छोटा होता है और हर वाला अंक बड़ा होता है तो इस प्रकार की भिन्न को उचित भिन्न कहते हैं।
उदाहरण :- $\frac57$ , $\frac69$ , $\frac{15}{17}$ इत्यादि।
2. अनुचित भिन्न
जिस किसी साधारण भिन्न में अंश वाला अंक बड़ा होता है और हर वाला अंक छोटा होता है तो इस प्रकार की भिन्न को अनुचित भिन्न कहते हैं।
उदाहरण :- $\frac75$ , $\frac53$ , $\frac{13}9$ इत्यादि।
3. मिश्र भिन्न
जिस किसी भिन्न में पहले पूर्णांक हो और फिर साधारण भिन्न हो अर्थात जब कोई भिन्न पूर्णांक और साधारण भिन्न से मिलकर बनती है तो उसे मिश्र भिन्न कहते हैं।
उदाहरण:- $ 3\frac12\ $ इसको 3 सही 1 बट्टा 2 पढ़ते हैं
भिन्न के किसी भी प्रकार के सवाल को हल करने से पहले मिश्र भिन्न को साधारण भिन्न में बदला जाता है यह चरण बहुत महत्वपूर्ण इसीलिए है क्योंकि बिना मिश्र भिन्न को साधारण भिन्न में बदले बिना भिन्न वाले सवाल को हल करना बहुत ही कठिन हो जाता है।
तो यह जानते हैं कि मिश्र भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदल जाता है उदाहरण के लिए हम यह मानते हैं कि $ 3\frac12\ $ एक मिश्र भिन्न है
इस मिश्र भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने के लिए सबसे पहले इस मिश्र भिन्न में उपस्थित पूर्णांक को हर के साथ गुणा करते हैं गुना करने के पश्चात जो संख्या प्राप्त होती है उसमें अंश को जोड़ते हैं और जो संख्या प्राप्त होती है उसे अंश में लिखते हैं तथा बट्टा में हर के स्थान पर वही समान संख्या को लिखते हैं जो की मिश्र भिन्न में हर में लिखी होती है। इसी प्रकार सभी मिश्र भिन्नों को साधारण भिन्न में बदला जा सकता है
भिन्नों का जोड़ घटाना गुणा भाग
भिन्नों का जोड़ (Addition of Fractions)
अलग-अलग तरह की भिन्नों को अलग-अलग तरीके से जोड़ा जाता है जिन्हें आप निम्न उदाहरण में देख सकते हैं
1. उदाहरण :- $\textbf{$\frac25$}$ + $\textbf{$\frac35$}$
भिन्नों का जोड़ करने के लिए सबसे पहले हमें यह देखना होता है कि दोनों भिन्नों के हर में कौन सी संख्या है यदि दोनों भिन्नों के हर में समान संख्या है तो भिन्नों की जोड़ इस प्रकार होगी।
इन दोनों भिन्नों को जोड़ना बहुत ही आसान है सबसे पहले हम हर को बट्टा में लिखते हैं फिर दोनों भिन्नों के अंश को जोड़ते हैं तो इसका उत्तर $\frac55$ =1 आता है।
2. उदाहरण :- $\textbf{$\frac43$}$ + $\textbf{$\frac52$}$
जब भिन्नों में हर सामान नहीं होता है तो फिर दोनों भिन्नों के हर का LCM निकलते हैं फिर LCM निकलने पर जो संख्या प्राप्त होती है उसे बट्टा में हर के रूप में लिखी जाती है तथा इस संख्या में भिन्न के हर वाली संख्या का भाग देते हैं और उसे भागफल को भिन्न के अंश से गुणा करते हैं और जो संख्या प्राप्त होती है उसे अंश के रूप में लिखते हैं इसके पश्चात अंश में जोड़ का चिन्ह लगाते हैं फिर इसी तरह दूसरी भिन्न को भी लिखकर जोड़ लिया जाता है।
3 और 2 का LCM निकलने पर 6 प्राप्त होता है फिर इस 6 को बट्टा में हर के स्थान पर लिखते हैं इसके बाद प्रथम भिन्न के हर का 6 में भाग देते हैं तो भागफल 2 आता है इस दो को प्रथम भिन्न के अंश वाली संख्या 4 से इन करने पर 8 प्राप्त होते हैं उसे अंश में लिखते हैं
इसके बाद जोड़ का चिन्ह लगाते हैं अब दूसरी भिन्न के हार वाली संख्या 2 का 6 में भाग देने पर भागफल 3 आता है तीन को दूसरी भिन्न के अंश वाली संख्या 5 से गुना करने पर 15 प्राप्त होता है उसे लिखते हैं अब अंश में लिखे 8 और 15 को जोड़ते हैं तो 23 प्राप्त होता है इसके बट्टा में 6 लिखते हैं
भिन्नों का घटाना (Subtraction of Fraction)
भिन्नों को घटाने का तरीका भी भिन्नों के जोड़ करने के जैसा ही है लेकिन इसमें हम भिन्नों को जोड़ने नहीं है बल्कि घटते हैं
1. उदाहरण :- $\textbf{$\frac93$}$ – $\textbf{$\frac53$}$
जब दो भिन्नों को घटाते हैं तब यदि दो भिन्नों हर सामान हो तो हर को बट्टा में लिखते हैं जैसे की 3 को बट्टा में लिखते हैं और अंश वाली संख्या में 9 से 5 को घटाते हैं तो $\frac43$ प्राप्त होता है
2. उदाहरण :- $\textbf{$\frac53$}$ – $\textbf{$\frac46$}$
यदि दोनों भिन्नों में हर सामान नहीं होता है तो सबसे पहले दोनों भिन्नों के हर 3 व 6 का LCM निकलते हैं तो हमें इनका LCM 6 प्राप्त होता है इसको बट्टा में हर के स्थान पर लिखते हैं फिर पहले वाली भिन्न के हर का 6 में भाग देते हैं तो भागफल 2 प्राप्त होता है
अब दो को पहले भिन्न के अंश वाली संख्या 5 से गुणा करते हैं तो 10 प्राप्त होता है इस अंश में लिखते हैं फिर घटाने का चिन्ह लगाते हैं इसके पश्चात हर में लिखी हुई संख्या 6 में दूसरी भिन्न के हर वाली संख्या 6 का भाग देते हैं तो भागफल 1 प्राप्त होता है इस भागफल को दूसरी वाली भिन्न के अंश वाली संख्या 4 गुना करने पर 4 प्राप्त होता है अब अंश में 10 में से 4 को घटते हैं तो हमें $\frac66$ प्राप्त होता है और 6 का भाग 6 में देने पर 1 प्राप्त होता ह
भिन्न का गुणा (Multiplication of Fractions)
भिन्न वाली संख्याओं का गुणा करने से पहले आपको कुछ निम्न नियम पता होने चाहिए
- भिन्नों का गुणा करते समय किसी भिन्न के अंश को उसके हर से किसी भी पहाड़ी से काट सकते हैं लेकिन अंश व हर में किसी एक ही पहाड़े का पूरा-पूरा भाग जाना चाहिए यानि दशमलव वाली संख्या नहीं आनी चाहिए।
- भिन्नों का गुणा करते समय क्रॉस में अंश में हर को किसी भी पहाड़े से काट सकते हैं लेकिन अंश व हर में किसी एक ही पहाड़े का पूरा भाग जाना चाहिए।
- भिन्नों का गुणा करने पर सभी भिन्नों के अंश को आपस में गुणा करते हैं तथा सभी भिन्नों के हर को आपस में गुणा करते हैं लेकिन किसी भिन्न के अंश व हर को आपस में गुण नहीं कर सकते हैं लेकिन आपस में काट जरूर सकते हैं।
1. उदाहरण :- $\textbf{$\frac52$}$ × $\textbf{$\frac62$}$
इन भिन्नों को आपस में गुणा करने से पहले यह देखते हैं कि क्या कोई भी आपस में कट सकती है या फिर क्रॉस में कट सकती है तो दूसरी भिन्न $\frac62$ को दो के पहाड़े से कट सकते है तो $\frac31$ प्राप्त होता है अब अंश वाली संख्या 5 व 3 को गुणा करते हैं तो 15 प्राप्त होते हैं इसे अंश में लिखते हैं तथा बट्टा में 2 लिखते हैं तथा $\frac{15}2$ प्राप्त होता है।
2. उदाहरण :- $\textbf{$\frac{12}5$}$ × $\textbf{$\frac{15}4$}$
इस भिन्न में हम सबसे पहले यह देखते हैं कि भिन्न कट सकती है या नहीं तो यह बिन क्रॉस में कट सकती है अब इसमे से पहली वाली भिन्न की अंश वाली संख्या 12 को दूसरी वाली भिन्न की हर वाली संख्या 4 से काटते हैं तथा पहली भिन्न के हर वाली संख्या 5 को दूसरी वाली भिन्न के अंश वाली संख्या 15 से काटते हैं तो अब हमें नयी भिन्न मिलती है जोकि $\frac31$ × $\frac31$ है अब अंश वाली संख्या 3 × 3 व हर वाली संख्या 1×1 को आपस में गुणा करते हैं तो $\frac91$ लिखते हैं अब यदि 9 में 1 का भाग देते हैं तो 9 ही प्राप्त होता है।
भिन्नों का भाग (Division of Fraction)
भिन्नों का भाग करना बहुत ही आसान है इसमें आपको सिर्फ यह ध्यान रखना है कि पहले वाली भिन्न को छोड़कर दूसरे वाली भिन्न में अंश के स्थान हर व हर के स्थान पर अंश आ जाता है और भाग (÷) वाला चिन्ह गुणा वाले चिन्ह में बदल जाता है अब सिर्फ आपको इन भिन्नों को आपस में गुणा करना है।
उदाहरण :- $\textbf{$\frac76$}$ ÷ $\textbf{$\frac43$}$
इन भिन्नों का भाग करने के लिए सबसे पहले दूसरी वाली भिन्न को उल्टा लिखते हैं यानी अंश वाली संख्या 4 को हर के स्थान पर रखते हैं और हर वाली संख्या 3 को अंश के स्थान पर रखते हैं ऐसा करने पर भाग का चिन्ह गुणा में बदल जाता है
तो अब $\frac76$ × $\frac34$ प्राप्त होता है अब इन भिन्नों का गुणा करते हैं।
तो इन भिन्नों में यह देखते हैं कि यह क्या आपस में कट सकती है या नहीं तो यह भिन्नों क्रॉस में कट सकती है जैसे पहले वाली भिन्न कि हर वाली संख्या 2 को दूसरी वाली भिन्न की अंश वाली संख्या काटते हैं तो हमें $\frac72$ × $\frac14$ प्राप्त होता है अब अंश वाली संख्या 7 व 1 को गुणा करते हैं तथा हर वाली संख्या 2 व 4 को गुणा करते हैं तो $\frac78$ प्राप्त होता है
तो मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि गणित में भिन्नों का जोड़ घटाना गुणा भाग कैसे करते हैं और यदि आपको भिन्नों से संबंधित सवालों को हल करने में कठिनाई आए तो आप Microsoft calculator का उपयोग कर सकते हैं और यदि मिश्र भिन्नों व भिन्नों के किसी भी प्रकार के सवाल को हल करने में कठिनाई होने पर आप मुझे कमेंट करके बता सकते हैं मैं आपके लिए उस सवाल के उत्तर को इस पोस्ट में ऐड कर दूंगा।
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